Question

【題目】已知橢圓上的一點(diǎn)到其左頂點(diǎn)的距離為.

(1)求橢圓的方程;

(2)若直線與橢圓交于兩點(diǎn)(與點(diǎn)不重合)，若以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn),試證明:直線過定點(diǎn).

Answer 1

【答案】(1) ,(2)

【解析】

(1)把點(diǎn)代入橢圓方程中,再根據(jù)點(diǎn)到其左頂點(diǎn)的距離為可以列出方程,聯(lián)立解方程組即可求出橢圓的方程;

(2)由題意可知：以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn),這樣有

根據(jù)直線是否存在斜率分類討論，當(dāng)不存在斜率時，通過解方程可以證明直線過定點(diǎn)；當(dāng)存在斜率時，設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，把轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積最后可以確定直線過定點(diǎn).

(1)易知左頂點(diǎn)的坐標(biāo)為.

由已知可得，解得,

所以橢圓的方程為.

(2)證明:若以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn).則,即,故

當(dāng)直線的斜率不存在時，設(shè)直線的方程為由題意得為等腹直角三角形，設(shè)直線與橢圓在軸上方的交點(diǎn)為，則的坐標(biāo)為.所以有，

解得 (舍去)或，所以此時直線的方程為,

當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線方程為.,

聯(lián)立： 消去得：

則,

,

由題意，則,

則

,

所以,

化簡得,

所以，解得或,

當(dāng)時，滿足.此時直線方程為.過定點(diǎn):

當(dāng)時，滿足.此時直線方程為.過定點(diǎn),不合題意.綜上.直線經(jīng)過定點(diǎn).