Question

【題目】已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為 ，且經過點M（4，1），直線l：y=x+m交橢圓于不同的兩點A，B． （Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求m的取值范圍；
（Ⅲ）若直線l不過點M，求證：直線MA、MB與x軸圍成一個等腰三角形．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設橢圓的方程為 ， ∵橢圓的離心率為 ，
∴a2=4b2 ，
又∵M（4，1），
∴ ，解得b2=5，a2=20，故橢圓方程為 ．
（Ⅱ）將y=x+m代入 并整理得
5x2+8mx+4m2﹣20=0，
∵直線l：y=x+m交橢圓于不同的兩點A，B
∴△=（8m）2﹣20（4m2﹣20）＞0，解得﹣5＜m＜5．
（Ⅲ）設直線MA，MB的斜率分別為k1和k2 ， 只要證明k1+k2=0．
設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
根據（Ⅱ）中的方程，利用根與系數的關系得： ．

上式的分子=（x1+m﹣1）（x2﹣4）+（x2+m﹣1）（x1﹣4）
=2x1x2+（m﹣5）（x1+x2）﹣8（m﹣1）
=
所以k1+k2=0，得直線MA，MB的傾斜角互補
∴直線MA、MB與x軸圍成一個等腰三角形
【解析】（I）設出橢圓的標準方程，根據橢圓的離心率為 ，得出a2=4b2 ， 再根據M（4，1）在橢圓上，解方程組得b2=5，a2=20，從而得出橢圓的方程；（II）因為直線l：y=x+m交橢圓于不同的兩點A，B，可將直線方程與橢圓方程消去y得到關于x的方程，有兩個不相等的實數根，從而△＞0，解得﹣5＜m＜5；（III）設出A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），對（II）的方程利用根與系數的關系得： ．再計算出直線MA的斜率k1= ，MB的斜率為k2= ，將式子K1+K2通分化簡，最后可得其分子為0，從而得出k1+k2=0，得直線MA，MB的傾斜角互補，命題得證．