Question

已知曲線C：f（x）=x³-ax+a，若過曲線C外一點A（1，0）引曲線C的兩條切線，它們的傾斜角互補，則a的值為

27

8

．

Answer 1

分析：通過導數(shù)求出切線斜率，利用切線的傾斜角互補，建立斜率關(guān)系，可求a．

解答：解：函數(shù)f（x）的導數(shù)為f'（x）=3x²-a，…（2分）
知f'（x）=3x²-a，過點A（1，0）作曲線C的切線，
設切點（x₀，f（x₀）），則切線方程為：y=（3x₀-a）（x-1）…（9分）
將（x₀，f（x₀））代入得：f（x₀）=

x

3 0

-ax₀+a即2

x

3 0

-3x₀=0   （*）
解得x₀=0或x₀=

3

2

…（12分）
故滿足條件的切線只有兩條，且它們的斜率分別為-a與

27

4

-a，
因為兩條切線的傾斜角互補，所以-a+

27

4

-a=0，解得a=

27

8

．         …（14分）
故答案為：

27

8

．

點評：本題考查導數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)之間的關(guān)系，以及利用導數(shù)求切線方程．