Question

【題目】已知、分別是離心率的橢圓的左右項(xiàng)點(diǎn)，P是橢圓E的上頂點(diǎn)，且.

（1）求橢圓E的方程；

（2）若動(dòng)直線過點(diǎn)，且與橢圓E交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M與點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱，求證：直線恒過定點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）

（2）證明見解析

【解析】

（1）由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得，再由離心率可得，然后求得，得橢圓方程；

（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線，，，則，

由直線方程與橢圓方程聯(lián)立并消元后應(yīng)用韋達(dá)定理得，然后寫出直線方程并變形后代入，可得定點(diǎn)坐標(biāo)，再驗(yàn)證直線斜率不存在時(shí)，直線也過這個(gè)定點(diǎn)即可．

解：（1）由題意得，，，

則，所以，

又，所以，，所以橢圓E的方程為.

（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線，，，則，

由，消去y得.由，

得，所以，.

，

直線的方程為，

即，

因?yàn)?/span>，，所以，

直線的方程為可化為，則直線恒過定點(diǎn).

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線也過點(diǎn)，綜上知直線恒過定點(diǎn).