Question

【題目】(1)求經過直線l1：x＋3y－3＝0，l2：x－y＋1＝0的交點且平行于直線2x＋y－3＝0的直線方程．

(2)求證：不論m取什么實數，直線(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0都經過一個定點，并求出這個定點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）方法一：先求得直線l1與l2的交點坐標為(0,1)，再設平行于直線2x＋y－3＝0的直線方程為2x＋y＋c＝0，將交點代入直線方程得到參數c的值；方法二：設過直線l1與l2交點的直線方程為x＋3y－3＋λ(x－y＋1)＝0，整理后為(λ＋1)x＋(3－λ)y＋λ－3＝0，再由直線的斜率為-2，得到＝－2，解得λ的值，即可得到結果；（2）將原式子整理得(2x＋y－1)m＋(－x＋3y＋11)＝0，由于m取值的任意性，使得m的系數為0即可.

(1)方法一：由得

∴直線l1與l2的交點坐標為(0,1)，再設平行于直線2x＋y－3＝0的直線方程為2x＋y＋c＝0，

把(0,1)代入所求的直線方程，得c＝－1，

故所求的直線方程為2x＋y－1＝0.

方法二：設過直線l1、l2交點的直線方程為x＋3y－3＋λ(x－y＋1)＝0(λ∈R)，

即(λ＋1)x＋(3－λ)y＋λ－3＝0，

由題意可知，＝－2，解得λ＝，

∴所求直線方程為x＋y－＝0，即2x＋y－1＝0.

(2)將已知方程以m為未知數，整理得(2x＋y－1)m＋(－x＋3y＋11)＝0.

由于m取值的任意性，

由解得

∴不論m取什么實數，所給的直線都經過一個定點(2，－3)