Question

已知函數f（x）=|x|，g（x）是定義在R上的奇函數，且當x＜0時，g（x）=x（x+1），則方程f（x）+g（x）=1有

 

個實根（若有相同的實根，算一個）．

Answer 1

分析：先根據條件求出函數g（x）的解析式，原方程的實數根即 g（x）=1-f（x）的根，本題即求函數 y=g（x）和 y=1-f（x）的圖象的交點個數，結合圖象，得出結果．

解答：解：∵函數f（x）=|x|，g（x）是定義在R上的奇函數，且當x＜0時，g（x）=x（x+1），
設 x≥0，則-x≤0，g（-x）=-x（-x+1）=x（x-1）=-g（x），∴g（x）=x（1-x）．
綜上，g（x）=

x(x+1) ，x＜0 x(1-x)  ， x≥0

，方程f（x）+g（x）=1的根，即 g（x）=1-f（x）的根，
即函數 y=g（x）和 y=1-|x|的圖象的交點個數，顯然，兩個函數的圖象有2個交點，如圖所示：
故答案為 2．

點評：本題考查利用函數的奇偶性求函數的解析式，方程根的個數的判斷方法，體現了數形結合、轉化的數學思想．