Question

(本題13分)
已知f(x)＝lnx＋x²－bx.
(1)若函數f(x)在其定義域內是增函數，求b的取值范圍；
(2)當b＝－1時，設g(x)＝f(x)－2x²，求證函數g(x)只有一個零點．

Answer 1

解:(1)∵f(x)在(0，＋∞)上遞增，
∴f ′(x)＝＋2x－b≥0，對x∈(0，＋∞)恒成立，
即b≤＋2x對x∈(0，＋∞)恒成立，
∴只需b≤_min　(x>0)，
∵x>0，∴＋2x≥2，當且僅當x＝時取“＝”，
∴b≤2，
∴b的取值范圍為(－∞，2]．
(2)當b＝－1時，g(x)＝f(x)－2x²＝lnx－x²＋x，其定義域是(0，＋∞)，
∴g′(x)＝－2x＋1
＝－＝－，
令g′(x)＝0，即－＝0，
∵x>0，∴x＝1，
當0<x<1時，g′(x)>0；當x>1時，g′(x)<0，
∴函數g(x)在區間(0,1)上單調遞增，在區間(1，＋∞)上單調遞減，
∴當x≠1時，g(x)<g(1)，即g(x)<0，當x＝1時，g(x)＝0.
∴函數g(x)只有一個零點．

略