Question

在銳角△ABC中，a，b，c分別是角A、B、C的對邊，P=（a+c，b），Q=（c-a，b-c），且p⊥q．
（1）求A的大小；
（2）記f(B)=2sin2B+sin(2B+

π

6

)，求f(B)的值域．

Answer 1

分析：（1）根據兩個向量垂直，得到兩個向量的數量積等于0，得到關于三角形的邊長之間的關系，符合余弦定理，根據角A的范圍和余弦值，做出角A的大小．
（2）首先對所給的三角函數式進行整理，利用二倍角公式和兩角和與差的正弦公式，得到y=sin(2B-

π

6

)+1，根據角B的范圍，確定所用的角的范圍，根據正弦函數的值域得到結果．

解答：解：（1）由題意知

p

⊥

q

，所以

p

•

q

=（a+c）（c-a）+b（b-c）=0，
即b²+c²-a²=bc．
在△ABC中，由余弦定理，cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

．
又∵A∈(0，π)，所以A=

π

3

．
（2）f(B)=2sin2B+sin(2B+

π

6

)=1-cos2B+(

3

2

sin2B+

1

2

cos2B)=sin(2B-

π

6

)+1．
又△ABC為銳角三角形，
所以B∈(0，

π

2

)，C=

2π

3

-B∈(0，

π

2

)，
即

π

6

＜B＜

π

2

，所以

π

6

＜2B-

π

6

＜

5π

6

，
所以

1

2

＜sin(2B-

π

6

)≤1，
故f(B)的值域為(

3

2

，2]．

點評：本題考查及三角形的問題，考查三角函數的恒等變形化簡求值，角的范圍的討論和三角函數在某一個區間上的最值，本題解題的關鍵是對于函數式的整理，本題的易錯點是對于角的范圍的分析，注意三角形中的隱含條件，本題是一個中檔題目．