Question

【題目】已知函數f（x）=（a∈R）．

（Ⅰ）若f（1）=2，求函數y=f（x）-2x在[，2]上的值域；

（Ⅱ）當a∈（0，）時，試判斷f（x）在（0，1]上的單調性，并用定義證明你的結論．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）[-，]（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）根據題意，由f（1）=2可得，解可得a的值，即可得y=f（x）-2x的解析式，設g（x）=-x，分析易得g（x）在[，2]上為減函數，據此分析函數g（x）的最值，即可得答案；

（Ⅱ）設0＜x1＜x2≤1，由作差法分析，即可得答案．

（Ⅰ）根據題意，函數f（x）=，

若f（1）=2，則=2，解可得a=，則f（x）==x+，

則y=f（x）-2x=-x，設g（x）=-x，分析易得g（x）在[，2]上為減函數，

且g（）=2-=，g（2）=-2=-；

故y=f（x）-2x在[，2]上的值域為[-，]；

（Ⅱ）f（x）==2ax+，當a∈（0，）時，在（0，1]上為減函數，

證明：設0＜x1＜x2≤1，

f（x1）-f（x2）=（2ax1+）-（2ax2+）=（2ax1x2-1），

又由a∈（0，）且0＜x1＜x2≤1，

則（x1-x2）＜0，（2ax1x2-1）＜0，

則f（x1）-f（x2）＞0，

即函數f（x）在（0，1]上為減函數．