Question

【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)的和為，記．

（1）若是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，其中，均為正數(shù)．

①當(dāng)，，成等差數(shù)列時(shí)，求的值；

②求證：存在唯一的正整數(shù)，使得．

（2）設(shè)數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，若存在，（，，）使得，求的值．

Answer 1

【答案】（1）①②見(jiàn)解析（2）

【解析】

先寫(xiě)出的表達(dá)式．

寫(xiě)出，，，列出等式求解．

等價(jià)于，是一個(gè)固定的數(shù)，當(dāng)時(shí)，區(qū)間互不相交，且并集為，所以n存在且唯一．

先將等式化成基本量表示的形式，有，設(shè)出函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，又，從而找出r，t的值，再解出q．

（1）①因?yàn)?/span>，，成等差數(shù)列，

所以，即，

解得，．

②由，得,

整理得，解得,

由于且．

因此存在唯一的正整數(shù)，使得．

（2）因?yàn)?/span>，所以．

設(shè)，，．

則,

因?yàn)?/span>，，所以，

所以，即，即單調(diào)遞增．

所以當(dāng)時(shí)，，

則，即，這與互相矛盾．

所以，即．

若，則,

即，與相矛盾．

于是，所以，即．

又，所以．