Question

5．直線l：mx+y-m-2=0與圓C：（x-3）²+（y-4）²=25交于A，B兩點，C為圓心，當∠ACB最小時，直線l的方程是x+y-3=0．

Answer 1

分析 已知直線l過點M（1，2），點M在圓內，$sin\frac{1}{2}∠ACB=\frac{{\frac{1}{2}|AB|}}{r}=\frac{|AB|}{2r}$，因此要使∠ACB最小，則|AB|取最小值．

解答 解：由已知直線l過點M（1，2），點M在圓內，
∵$sin\frac{1}{2}∠ACB=\frac{{\frac{1}{2}|AB|}}{r}=\frac{|AB|}{2r}$，因此要使∠ACB最小，則|AB|取最小值，
又AB過點M，因此M為AB中點，即CM⊥AB，
因為${k_{CM}}=\frac{4-2}{3-1}=1$，所以k_l=-1，
所以l的方程為y-2=-（x-1），即x+y-3=0．

點評 本題主要考查了直線與圓的基礎知識點，以及斜率與直線關系，屬中檔題．