Question

設函數f（x）在R上滿足f（2-x）=f（2+x），f（7-x）=f（7+x），且在閉區間[0，7]上，只有f（1）=f（3）=0，則方程f（x）=0在閉區間[-2011，2011]上的根的個數為（　　）

• A、802
• B、803
• C、804
• D、805

Answer 1

分析：根據周期函數性質可知，只需求出一個周期里的根的個數，可求得f（x）在[0，10]和[-10，0]上均有有兩個解，從而可知函數y=f（x）在[0，2011]上有403個解，在[-2011，0]上有402個解，綜合可得答案．

解答：解：由

f(2-x)=f(2+x) f(7-x)=f(7+x)

⇒

f(x)=f(4-x) f(x)=f(14-x)

⇒f（4-x）=f（14-x）⇒f（x）=f（x+10）
又f（3）=f（1）=0⇒f（11）=f（13）=f（-7）=f（-9）=0
故f（x）在[0，10]和[-10，0]上均有有兩個解，
從而可知函數y=f（x）在[0，2011]上有403個解，在[-2011，0]上有402個解，
所以函數y=f（x）在[-2011，2011]上有805個解．
故選D．

點評：本題主要考查了函數的周期性和根的存在性及根的個數判斷，屬于基礎題．