Question

設函數f（x）在R上滿足f（3+x）=f（3-x），f（8+x）=f（8-x），且在閉區間[0，8]上只有f（1）=f（5）=f（7）=0．
（1）求證函數f（x）是周期函數；
（2）求函數f（x）在閉區間[-10，0]上的所有零點；
（3）求函數f（x）在閉區間[-2012，2012]上的零點個數及所有零點的和．

Answer 1

分析：（1）利用周期函數的定義證明．（2）利用周期性結合已知條件提供的零點，求出其他的零點．
（3）利用周期性可以判斷在閉區間[-2012，2012]上的零點個數及所有零點的和

解答：解：（1）由f（3+x）=f（3-x），f（8+x）=f（8-x），
得f（x）=f（x+10），所以函數f（x）為周期函數，周期為T=10．
（2）由f（8+x）=f（8-x）知f（9）=f（7）=0，f（1）=f（1-10）=f（-9）=0，
f（5）=f（5-10）=f（-5）=0，f（7）=f（7-10）=f（-3）=0，f（9）=f（9-10）=f（-1）=0，
所以函數f（x）在區間[-10，0]上的零點分別有-1，-3，-5，-9．
（3）因為函數的周期是10，由（2）知一個周期內的零點個數為4個，所以在區間[-2010，2010]內零點個數為2×201×4=1608個零點．
又f（2011）=f（1）=f（-9）=0，f（2012）=f（2），f（-2011）=f（-1）=0，f（-2012）=f（-2），
所以2011，-2011也是兩個零點，所以在區間[-2012，2012]上共有1608+2=1610個零點．零點之為804．

點評：本題主要考查了函數周期性和函數零點的判斷，綜合性較強．