Question

設方程x²+y²-2（m+3）x+2（1-4m²）y+16m⁴+9=0．
（1）當且僅當m在什么范圍內，該方程表示一個圓；
（2）當m在以上范圍內變化時，求半徑最大的圓的方程．

Answer 1

分析：（1）方程x²+y²-2（m+3）x+2（1-4m²）y+16m⁴+9=0可變為：[x-（m+3）]²+[y+（1-4m²）]²=-7m²+6m+1，要得到方程為圓，
則要-7m²+6m+1大于0；如果-7m²+6m+1大于0得到方程為圓，所以得到m的范圍即可．
（2）可設n=-7m²+6m+1，在（1）求出的m的范圍中，利用二次函數求最值的方法求出半徑的最大值即可．

解答：解：（1）由方程x²+y²-2（m+3）x+2（1-4m²）y+16m⁴+9=0
變形得：[x-（m+3）]²+[y+（1-4m²）]²=-7m²+6m+1，要使方程表示圓，
則需要-7m²+6m+1＞0；如果-7m²+6m+1＞0，則得到方程表示圓；
所以當且僅當-7m²+6m+1＞0即-

1

7

＜m＜1時，該方程表示一個圓；
（2）在-

1

7

＜m＜1時，設r²=-7m²+6m+1，為開口向下的拋物線，
當m=

3

7

時，r²最大為

16

7

．
所以圓的方程為(x-

24

7

)2+(y+

13

49

)2=

16

7

．

點評：考查學生會找方程表示圓時的條件，會求二次函數的最大值，會根據已知條件表示圓的一般方程．同時讓學生理解當且僅當的數學意義．