Question

函數f(x)＝x²－2ax＋a在區間(－∞，1)上有最小值，則函數g(x)＝在區間(1，＋∞)上一定

[　　]

A．有最小值

B．有最大值

C．是減函數

D．是增函數

Answer 1

答案：D
解析：

解析：函數f(x)＝x2－2ax＋a的對稱軸是直線x＝a，由于函數f(x)在開區間(－∞，1)上有最小值，所以直線x＝a位于區間(－∞，1)內，即a＜1．g(x)＝＝x＋－2a，下面用定義法判斷函數g(x)在區間(1，＋∞)上的單調性．設1＜x1＜x2，則g(x1)－g(x2)＝(x1＋－2a)－(x2＋－2a)＝(x1－x2)＋() 　　＝(x1－x2)(1－)＝(x1－x2)． 　　∵1＜x1＜x2， 　　∴x1－x2＜0，x1x2＞1＞0． 　　又∵a＜1，∴x1x2＞a． 　　∴x1x2－a＞0． 　　∴g(x1)－g(x2)＜0．∴g(x1)＜g(x2)． 　　∴函數g(x)在區間(1，＋∞)上是增函數，函數g(x)在區間(1，＋∞)上沒有最值，故選D．

提示：

定義法判斷函數f(x)的單調性步驟是：①在所給區間上任取兩個變量x1、x2；②比較f(x1)與f(x2)的大小，通常利用作差比較它們的大小，先作差，后將差變形，變形的手段是通分、分解因式，變形的結果常是完全平方加上一個常數或因式的積(商)等；③由②中差的符號確定函數的單調性．注意：函數f(x)在開區間D上是單調函數，則f(x)在開區間D上沒有最大值，也沒有最小值．