Question

一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是一個正三角形，則這個幾何體的外接球的表面積為（　　）

• A．

  16π

  3

• B．

  8π

  3

• C．4

  3

• D．2

  3

  π

Answer 1

分析：由已知中幾何體的三視圖中，正視圖是一個正三角形，側視圖和俯視圖均為三角形，我們得出這個幾何體的外接球的球心O在高線PD上，且是等邊三角形PAC的中心，得到球的半徑，代入球的表面積公式，即可得到答案．

解答：解：由已知中正視圖是一個正三角形，側視圖和俯視圖均為三角形，
可得該幾何體是有一個側面PAC垂直于底面，高為

3

，底面是一個等腰直角三角形的三棱錐，如圖．
則這個幾何體的外接球的球心O在高線PD上，且是等邊三角形PAC的中心，
這個幾何體的外接球的半徑R=

2

3

PD=

2 3

3

．
則這個幾何體的外接球的表面積為S=4πR²=4π×（

2 3

3

）²=

16π

3

故選A．

點評：本題考查的知識點是由三視圖求面積、體積，其中根據三視圖判斷出幾何體的形狀，分析出幾何體的幾何特征是解答本題的關鍵．