Question

已知函數，其中，是自然對數的底數.

（1）求函數的零點；

（2）若對任意均有兩個極值點，一個在區間（1，4）內，另一個在區間[1，4]外，求a的取值范圍；

（3）已知，且函數在R上是單調函數，探究函數的單調性.

 

Answer 1

（1）（2）（3）函數在R上是減函數

【解析】

試題分析：（1）

把的零點問題轉化為方程的根的問題.

（2）因為，由題設可知有兩個兩點，其中一個在，一個在外，解這個不等式，可得實數的取值范圍.

（3）

由函數在R上是單調函數,所以,得到與的關系,然后由此關系推出.

試題解析：

【解析】
（1），

令g(x)=0, 有ex－1=0，即x=0；或 x2－2x－a=0；,

①當時，函數有1個零點 ； 1分

②當時，函數有2個零點；2分

③當時，函數有兩個零點；3分

④當時，函數有三個零點：

4分

（2），5分

設，的圖像是開口向下的拋物線，

由題意對任意有兩個不等實數根，

且則對任意,

即,有，7分

又任意關于遞增, ,

故，所以.

所以的取值范圍是 9分

（3）由(2)知, 存在，又函數在R上是單調函數，故函數在R上是單調減函數, 10分

對來說

即 11分

所以對于函數來說

由知 12分

即對任意

故函數在R上是減函數. 13分

考點：1、函數的零點；2、利用導數研究函數的單調性；3、一元二次方程根的分布.