Question

若()ⁿ的展開式中前三項系數成等差數列，求：

（1）展開式中含ｘ的一次冪的項；

（2）展開式中所有ｘ的有理項；

（3）展開式中系數最大的項.

Answer 1

思路解析：此類問題，應首先確定ｎ的值，然后再逐題求解.而確定ｎ的值，則需由題中條件，把二項式展開式的前三項寫出，據等差數列的條件得出.

解：()ⁿ的展開式中前三項系數成等差數列，所以可得

,即n=8.

T_r+1=.

（1）令4-r=1,得ｒ=4，所以ｘ的一次項為T₄₊₁=x.

（2）令4-r∈Z(且0≤r≤8)，所以ｒ=0,4，8時，

有理項為T₁=x⁴,T₅=x,T₉=.

（3）設第ｒ項系數為ｔ，設第ｋ項系數最大，則有t_k≥t_k+1且t_k≥t_k-1，

于是∴3≤k≤4.所以系數最大項為第3項T₃=和第4項T₄=.