Question

已知數列{a_n}的前n項和S_n=

(n+1)an

2

，且a₁=1．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）令b_n=lna_n，是否存在k（k≥2，k∈N^*），使得b_k、b_k+1、b_k+2成等比數列．若存在，求出所有符合條件的k值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）直接利用a_n=S_n-S_n-1 （n≥2）求解數列的通項公式即可（注意要驗證n=1時通項是否成立）．
（2）先利用（1）的結論求出數列{b_n}的通項，再求出b_kb_k+2的表達式，利用基本不等式得出不存在k（k≥2，k∈N^*），使得b_k、b_k+1、b_k+2成等比數列．

解答：解：（1）當n≥2時，an=Sn-Sn-1=

(n+1)an

2

-

nan-1

2

，（2分）
即

an

n

=

an-1

n-1

（n≥2）．（4分）
所以數列{

an

n

}是首項為

a1

1

=1的常數列．（5分）
所以

an

n

=1，即a_n=n（n∈N^*）．
所以數列{a_n}的通項公式為a_n=n（n∈N^*）．（7分）
（2）假設存在k（k≥2，m，k∈N^*），使得b_k、b_k+1、b_k+2成等比數列，
則b_kb_k+2=b_k+1²．（8分）
因為b_n=lna_n=lnn（n≥2），
所以bkbk+2=lnk•ln(k+2)＜[

lnk+ln(k+2)

2

]2=[

ln(k2+2k)

2

]2
＜[

ln(k+1)2

2

]2=[ln(k+1)]2=

b

2 k+1

．（13分）
這與b_kb_k+2=b_k+1²矛盾．
故不存在k（k≥2，k∈N^*），使得b_k、b_k+1、b_k+2成等比數列．（14分）

點評：本題考查了已知前n項和為S_n求數列{a_n}的通項公式，根據a_n和S_n的關系：a_n=S_n-S_n-1 （n≥2）求解數列的通項公式．另外，須注意公式成立的前提是n≥2，所以要驗證n=1時通項是否成立，若成立則：a_n=S_n-S_n-1 （n≥1）；若不成立，則通項公式為分段函數．