Question

已知二次函數r（x）=ax²-（2a-1）x+b的一個零點是2-

1

a

，函數g（x）=lnx，設函數f（x）=r（x）-g（x）．
（1）求b的值；
（2）當a＞0時，求f（x）的單調增區間．

Answer 1

考點：二次函數的性質,函數零點的判定定理

專題：函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：（1）由已知條件知，將2-

1

a

帶入r（x）=0即可求出b=0；
（2）求f′（x）=

(2ax+1)(x-1)

x

，所以解f′（x）≥0即可得出f（x）的單調增區間．

解答： 解：（1）∵r（x）的一個零點為2-

1

a

；
∴r(2-

1

a

)=a(2-

1

a

)2-(2a-1)(2-

1

a

)+b=0；
∴b=0；
（2）f（x）=ax²-（2a-1）x-lnx；
f′（x）=2ax-（2a-1）-

1

x

=

2ax2-(2a-1)x-1

x

=

(2ax+1)(x-1)

x

；
∵a＞0，x＞0；
∴x≥1時，f′（x）≥0；
∴f（x）在[1，+∞）上單調遞增；
即f（x）的單調增區間為[1，+∞）；

點評：考查函數零點的概念，以及通過解f′（x），解f′（x）≥0得到函數f（x）單調增區間的方法．