Question

一動圓與已知圓O₁（x+2）²+y²=1外切，與圓O₂（x-2）²+y²=49內切，
（1）求動圓圓心的軌跡方程C；
（2）已知點A（2，3），O（0，0）是否存在平行于OA的直線 l與曲線C有公共點，且直線OA與l的距離等于4？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據兩圓的方程，算出它們的圓心分別為O₁（-2，0）、O₂（2，0），半徑分別為1和7．設動圓的圓心為M、半徑為R，根據兩圓相切的性質證出|O₁M|+|O₂M|=（r₁+R）+（r₂-R）=r₁+r₂=8（定值），從而得到圓心M在以O₁、O₂為焦點的橢圓上運動，結合題意算出a、b之值，可得動圓圓心的軌跡方程為

x2

16

+

y2

12

=1；
（2）求出直線OA的斜率為k=

3

2

，設符合題意的直線l方程為y=

3

2

x+t，將l方程與橢圓

x2

16

+

y2

12

=1消去y得到關于x的一元二次方程，由直線l與橢圓有公共點，利用根的判別式解出-4

3

≤t≤4

3

．再由直線OA與l的距離等于4，利用平行線之間的距離公式列式算出t=±2

13

∉[-4

3

，4

3

]，得到矛盾，故符合題意的直線l不存在．

解答：解：（1）∵圓O₁的方程為：（x+2）²+y²=1，
∴圓O₁的圓心為（-2，0），半徑r₁=1；同理圓O₂的圓心為（2，0），半徑r₂=7．
設動圓的半徑為R、圓心為M，圓M與圓O₁外切于點E，圓M與圓O₂內切于點F，連結O₁M、O₂F，
則E點在O₁M上，M在O₂F上．
∵|O₁M|=|O₁E|+|EM|，|O₂M|=|O₂F|-|MF|，
∴|O₁M|=r₁+R，|O₂M|=r₂-R，
兩式相加得：|O₁M|+|O₂M|=r₁+r₂=1+7=8（定值），
∴圓心M在以O₁、O₂為焦點的橢圓上運動，
由2a=8，c=2，得a=4，b=

a2-c2

=2

3

，
橢圓方程為

x2

16

+

y2

12

=1．
即動圓圓心的軌跡方程為C：

x2

16

+

y2

12

=1；
（2）直線OA的斜率為k=

3-0

2-0

=

3

2

，則平行于OA的直線l的斜率也是

3

2

，
假設存在符合題意的直線l，設其方程為y=

3

2

x+t，
由

y= 3 2 x+t x2 16 + y2 12 =1

消去y，得3x²+3tx+t²-12=0，
∵直線l與橢圓有公共點，
∴△=（3t）²-4×3×（t²-12）≥0，解得-4

3

≤t≤4

3

，
另一方面，由直線OA：

3

2

x-y=0與l：

3

2

x-y+t=0的距離為

|t|

( 3 2 )2+(-1)2

=4，解之得t=±2

13

，
由于±2

13

∉[-4

3

，4

3

]，所以符合題意的直線l不存在．

點評：本題求動點的軌跡方程，并探索所得軌跡與直線l是否有公共點的問題．著重考查了圓的標準方程、圓與圓的位置關系、平行線之間的距離公式、直線與橢圓的位置關系和動點軌跡方程的求法等知識，屬于中檔題．