Question

定義在R上的函數f（x）=ax³+bx²+cx+d滿足：函數f（x+2）的圖象關于點（-2，0）對稱；函數f（x）的圖象過點P（3，-6）；函數f（x）在點x₁，x₂處取得極值，且|x₁-x₂|=4．
（1）求f（x）表達式；
（2）求曲線y=f（x）在點P處的切線方程；
（3）求證：?α、β∈R，-

64

3

≤f(2cosα)-f(2sinβ)≤

64

3

．

Answer 1

分析：（1）f（x+2）的圖象關于點（-2，0）對稱，即f（x）的圖象關于點（0，0）對稱，求出b，d的值，根據韋達定理得到關于a，c的等式，將點（3，-6）代入f（x）的解析式得到a，c的另一個等式，解方程組求出a，c的值，代入f（x）中得到其解析式．
（2）根據曲線的解析式求出導函數，把P的橫坐標代入導函數中即可求出切線的斜率，根據P的坐標和求出的斜率寫出切線的方程即可；
（3）求出f（x）的導函數，判斷出導函數在[-2，2]上的符號，判斷出函數在[-2，2]上的單調性，求出f（x）在[-2，2]上的最值，得證．

解答：解：（1）f（x+2）的圖象關于點（-2，0）對稱，即f（x）的圖象關于點（0，0）對稱，
∴d=0，b=0，
又函數f（x）的圖象過點P（3，-6），∴9a+c=-2，
f（x）=ax³+bx²+cx=0兩根為x₁，x₂，且|x₁-x₂|=4，
∴

4b2-12ac＞0 x1+x2=- 2b 3a x1x2= c 3a

⇒

ac＜0 x1x2=0 x1x2= c 3a =-4

又|x₁-x₂|²=

4b2

9a2

-

4c

3a

=16，c=-12a
∴a=

2

3

，b=0，c=-8，d=0，
∴f（x）=

2

3

x3-8x；
（2）f′（x）=2x²-8，f′（3）=18，
∴切線方程為：10x-y-36=0；
（3）當-2≤x≤2時，f′（x）=2x²-8≤0，∴f（x）在[-2，2]上遞減，
又?α∈R，-2≤2cosα≤2，∴-

32

3

≤f(2)≤f(2cosα)≤f(-2)=

32

3

，
同理，-

32

3

≤f(2)≤f(2sinβ)≤f(-2)=

32

3

，
∴?α、β∈R，-

64

3

≤f(2cosα)-f(2sinβ)≤

64

3

．

點評：本題主要考查利用導數研究曲線上某點切線方程、函數的單調性、極值點與其導函數之間的關系．導數是高考的熱點問題，每年必考，要給予重視．