Question

設x、y是關于m的方程m²-2am+a+6=0的兩個實根，則（x-1）²+（y-1）²的最小值是（　　）

• A、-12

  1

  4

• B、18
• C、8
• D、

  3

  4

Answer 1

分析：由方程的根與系數的關系得x+y與xy值，將欲求的（x-1）²+（y-1）²的式子用含x+y與xy的式子來表示，即化為含m的函數，最后求此函數的最小值即可．

解答：解：由△=（-2a）²-4（a+6）≥0，得a≤-2或a≥3．
于是有（x-1）²+（y-1）²
=x²+y²-2（x+y）+2
=（x+y）²-2xy-2（x+y）+2
=（2a）²-2（a+6）-4a+2=4a²-6a-10
=4（a-

3

4

）²-

49

4

．
由此可知，當a=3時，（x-1）²+（y-1）²取得最小值8．
答案：C

點評：本題是一元二次方程的根為依托，求二次函數的最小值問題，必須注意到方程的根與系數的關系．
另外，本題容易發生的錯誤是，沒有注意到方程有根的條件：△≥0，導致錯解．