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16.在△ABC中,已知AB=4,且tanAtanB=$\frac{3}{4}$,則△ABC的面積的最大值為2$\sqrt{3}$.

分析 利用兩角和的正切函數以及基本不等式化簡可得:tanC=-tan(A+B)=-4(tanA+tanB)≤-8$\sqrt{tanAtanB}$,進而得到cosC,sinC.再利用余弦定理、基本不等式的性質、三角形面積計算公式即可得出.

解答 解:在△ABC中,已知tanAtanB=$\frac{3}{4}$,tanA>0,tanB>0,
∴tanC=-tan(A+B)=-$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=-4(tanA+tanB)≤-8$\sqrt{tanAtanB}$=-4$\sqrt{3}$,
當且僅當tanA=tanB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$時,取等號,
∴cosC=-$\frac{1}{7}$,
由16=a2+b2-2ab×(-$\frac{1}{7}$)≥2ab+$\frac{2}{7}$ab,解得:ab≤7,
可得:S△ABC=$\frac{1}{2}$absinC≤$\frac{1}{2}×$7×$\frac{4\sqrt{3}}{7}$=2$\sqrt{3}$.
故答案為:2$\sqrt{3}$.

點評 本題考查三角形的解法與應用、基本不等式的應用、余弦定理、和差公式,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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