Question

（2013•鄭州一模）已知函數f(x)=ln(1+x)-

ax

1-x

(a∈R)
（I）求函數f（x）的單調區間；
（II）若數列{a_m}的通項公式am=(1+

1

2013×2m+1

)2013，m∈N*，求證：a1•a2…am＜3，(m∈N*)．

Answer 1

分析：（1）在定義域x大于0上，令f^′（x）=0求出x的值，利用x的值分區間討論導函數的正負得到函數的單調區間單調遞增區間與單調遞減區間，注意分類討論；
（2）與數列有關的證明題，常用放縮法來解決．

解答：解：（1）由題意，函數的定義域為（-1，1）∪（1，+∞），f′(x)=

1

1+x

-

a

(1-x)2

，---（1分）
當a≤0時，注意到

1

1+x

＞0，

a

(1-x)2

≤0，所以f′（x）＞0，
即函數f（x）的增區間為（-1，1），（1，+∞），無減區間；---（2分）
當a＞0時，f′(x)=

1

1+x

-

a

(1-x)2

=

x2-(2+a)x+1-a

(1+x)(1-x)2

，
由f^′（x）=0，得x²-2（2+a）x+1-a=0，
此方程的兩根x1=

a+2- a2+8a

2

，x2=

a+2+ a2+8a

2

，
其中-1＜x₁＜1＜x₂，注意到（1+x）（1-x）²＞0，
所以f^′（x）＞0?-1＜x＜x₁或x＞x₂，
f^′（x）＜0?x₁＜x＜1或1＜x＜x₂，
即函數f（x）的增區間為（-1，x₁），（x₂，+∞），減區間為（x₁，1），（1，x₂），
綜上，當a≤0時，函數f（x）的增區間為（-1，1），（1，+∞），無減區間；
當a＞0時，函數f（x）的增區間為（-1，x₁），（x₂，+∞），減區間為（x₁，1），（1，x₂），
其中x1=

a+2- a2+8a

2

，x2=

a+2+ a2+8a

2

．--（6分）
（2）證明：當a=1時，由（1）知，函數f(x)=ln(1+x)-

x

1-x

在（0，1）上為減函數，--（7分）
則當0＜x＜1時，f(x)=ln(1+x)-

x

1-x

＜f(0)=0，即ln(1+x)＜

x

1-x

，
令x=

1

2013×2m+1

 (m∈N*)，則ln(1+

1

2013×2m+1

) ＜

1

2013×2m

 ，
即ln(1+

1

2013×2m+1

)2013＜

1

2m

 ，所以am=(1+

1

2013×2m+1

)2013＜e 

1

2m

，---（10分）
又a_m＞0，所以a1•a2•…•am＜e 

1

2

•e 

1

4

…e 

1

2m

=e 1-

1

2m

＜e＜3．----（12分）

點評：本題主要考查導函數的正負與原函數的單調性之間的關系，即當導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減．會利用導數研究函數的單調區間以及根據函數的增減性得到函數的最值．掌握證明不等式成立時所常用的方法．