Question

設函數f(x)＝ln x＋x2－(a＋1)x(a>0，a為常數)．

(1)討論f(x)的單調性；

(2)若a＝1，證明：當x>1時，f(x)< x2－－.

 

Answer 1

(1) 在，(1，＋∞)上單調遞增，在上單調遞減(2)見解析

【解析】(1)f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝＋ax－(a＋1)＝.

當0<a<1時，由f′(x)>0解得0<x<1或x>，由f′(x)<0解得1<x<，

所以函數f(x)在(0，1)，上單調遞增，在上單調遞減．

當a＝1時，f′(x)≥0對x>0恒成立，所以函數f(x)在(0，＋∞)上單調遞增．

當a>1時，由f′(x)>0解得x>1或0<x<，由f′(x)<0解得<x<1.

所以函數f(x)在，(1，＋∞)上單調遞增，在上單調遞減．

(2)證明：當a＝1時，原不等式等價于ln x－2x＋＋<0.

因為x>1，所以＝<，

因此ln x－2x＋＋<ln x－2x＋＋.

令g(x)＝ln x－2x＋＋，

則g′(x)＝.

令h(x)＝，當x>1時，h′(x)＝－x2－4x＋<0，

所以h(x)在(1，＋∞)上單調遞減，從而h(x)<h(1)＝0，即g′(x)<0，

所以g(x)在(1，＋∞)上單調遞減，則g(x)<g(1)＝0，

所以當x>1時，f(x)<x2－－.