【題目】從某學校高三年級800名學生中隨機抽取50名測量身高，據測量被抽取的學生的身高全部介于155cm和195cm之間，將測量結果按如下方式分成八組：第一組[155，160)；第二組[160，165)；…第八組[190，195]，圖是按上述分組方法得到的條形圖.
(1)根據已知條件填寫將表格填寫完整；
組別 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
樣本 | 2 | 4 | 10 | 10 | 15 | 4 |
(2)估計這所學校高三年級800名學生中身高在180cm以上（含180cm）的人數；
(3)在樣本中，若第二組有1人為男生，其余為女生，第七組有1人為女生，其余為男生，在第二組和第七組中各選一名同學組成實驗小組，問：實驗小組中恰為一男一女的概率是多少？
【答案】（1）見解析（2）144(人).（3）
【解析】
（1）根據第七組頻率計算人數，然后再求第八組人數；（2）根據樣本計算出身高在180cm以上（含180cm）的頻率，然后再計算人數；（3）先考慮總的可能數，然后計算一男一女的種數，即可計算對應概率.
解：(1)由條形圖得第七組頻率為1-(0.04×2+0.08×2+0.2×2+0.3)=0.06，0.06×50=3.
∴第七組的人數為3人.第八組的人數為2人，即
組別 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
樣本數 | 2 | 4 | 10 | 10 | 15 | 4 | 3 | 2 |
(2)由條形圖得后三組頻率為(0.08+0.06+0.04)=0.18，估計這所學校高三年級身高在180cm以上(含180cm)的人數800×0.18=144(人).
(3)基本事件有12個，恰為一男一女的事件有共7個，
因此實驗小組中，恰為一男一女的概率是.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下列四個命題中，其中錯誤的個數是（）
①經過球面上任意兩點，可以作且只可以作一個大圓；
②經過球直徑的三等分點，作垂直于該直徑的兩個平面，則這兩個平面把球面分成三部分的面積相等；
③球的面積是它大圓面積的四倍；
④球面上兩點的球面距離，是這兩點所在截面圓上，以這兩點為端點的劣弧的長．
A. 0B. 1C. 2D. 3
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下列命題中正確命題的個數是
（1）對分類變量
與
的隨機變量
的觀測值
來說，越小，判斷“與有關系”的把握越大；
（2）若將一組樣本數據中的每個數據都加上同一個常數后，則樣本的方差不變；
（3）在殘差圖，殘差點分布的帶狀區域的寬度越狹窄，其模型擬合的精度越高；
（4）設隨機變量
服從正態分布
；
若
，則
（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下列四組函數中，f (x)與g (x)表示同一個函數的是（ ）
A.f (x) = |x|，g(x) =
B.f (x) = 2x，g (x) =
C.f (x) = x，g (x) =
D.f (x) = x，g (x) =
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【題目】已知拋物線
的焦點曲線
的一個焦點， 
為坐標原點，點
為拋物線
上任意一點，過點
作
軸的平行線交拋物線的準線于
，直線
交拋物線于點
.
（Ⅰ）求拋物線
的方程；
（Ⅱ）求證：直線
過定點
，并求出此定點的坐標.
【答案】（I）
；（II）證明見解析.
【解析】試題分析：（Ⅰ）將曲線
化為標準方程，可求得
的焦點坐標分別為
，可得
，所以
，即拋物線的方程為
；（Ⅱ）結合（Ⅰ），可設
，得
，從而直線
的方程為
,聯立直線與拋物線方程得
，解得
，直線
的方程為
，整理得
的方程為
，此時直線恒過定點
.
試題解析：（Ⅰ）由曲線
，化為標準方程可得
， 所以曲線
是焦點在
軸上的雙曲線，其中
，故
， 
的焦點坐標分別為
，因為拋物線的焦點坐標為
，由題意知
，所以
，即拋物線的方程為
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知拋物線
的準線方程為
，設
，顯然
.故
，從而直線
的方程為
,聯立直線與拋物線方程得
，解得
①當
，即
時，直線
的方程為
，
②當
，即
時，直線
的方程為
，整理得
的方程為
，此時直線恒過定點
， 
也在直線
的方程為
上，故直線
的方程恒過定點
.
【題型】解答題
【結束】
21
【題目】已知函數
， 
（Ⅰ）當
時，求函數
的單調遞減區間；
（Ⅱ）若
時，關于
的不等式
恒成立，求實數
的取值范圍；
（Ⅲ）若數列
滿足
， 
，記
的前
項和為
，求證： 
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2018年2月9-25日，第23屆冬奧會在韓國平昌舉行.4年后，第24屆冬奧會將在中國北京和張家口舉行.為了宣傳冬奧會，某大學在平昌冬奧會開幕后的第二天，從全校學生中隨機抽取了120名學生，對是否收看平昌冬奧會開幕式情況進行了問卷調查，統計數據如下：
收看 | 沒收看 | |
男生 | 60 | 20 |
女生 | 20 | 20 |
(Ⅰ)根據上表說明，能否有
的把握認為，收看開幕式與性別有關？
(Ⅱ)現從參與問卷調查且收看了開幕式的學生中，采用按性別分層抽樣的方法選取8人，參加2022年北京冬奧會志愿者宣傳活動.
(ⅰ)問男、女學生各選取多少人？
(ⅱ)若從這8人中隨機選取2人到校廣播站開展冬奧會及冰雪項目宣傳介紹，求恰好選到一名男生一名女生的概率P.
附：
，其中
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的左、右焦點分別為
,點
也為拋物線
的焦點.(1)若
為橢圓
上兩點,且線段
的中點為
,求直線的斜率；
(2)若過橢圓的右焦點作兩條互相垂直的直線分別交橢圓于
和
,設線段
的長分別為
,證明
是定值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】將圓
上每一點的橫坐標變為原來的2倍，縱坐標變為原來的4倍，得曲線
.
（1）寫出的參數方程；
（2）設直線
與的交點為
，以坐標原點為極點，
軸正半軸為極軸建立極坐標系，求過線段
的中點與
垂直的直線的極坐標方程.
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