Question

已知，e為自然對數lnx的底數．
（Ⅰ）若函數h（x）=f（x）-g（x）存在單調遞減區間，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）當0＜α＜β時，求證：；
（Ⅲ）求f（x）-x的最大值，并證明當n＞2，n∈N^*時，．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）函數h（x）=f（x）-g（x）存在單調遞減區間即h'（x）＜0在（0，+∞）上有解，然后將a分離，然后利用二次函數的性質求出不等式另一側的最值，即可求出實數a的取值范圍；
（Ⅱ）構造函數，可利用導數研究函數ϕ（x）在（0，y）的單調性，求最小值，即可證得結論；
（Ⅲ）令m（x）=f（x）-x=lnx-x，然后利用導數研究函數m（x）的單調性，從而可求出最值，得到lnx≤-1+x，從而得到，從而可證得結論．
解答：（Ⅰ）解：函數．
∴在（0，+∞）上有解，
即ax²+3x-1＞0在（0，+∞）上有解，
由ax²+3x-1＞0得．
∵當x＞0，
∴a的范圍是．                                          …（4分）
（Ⅱ）證明：構造函數．
∴．
∵0＜x＜y，
∴，即函數ϕ（x）在（0，y）上是減函數，且ϕ（y）=0．
∴，
原不等式成立．              …（8分）
（Ⅲ）證明：∵，令m（x）=f（x）-x=lnx-x，
∴
∴函數m（x）在（0，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減，
∴m（x）≤m（1），即f（x）-x的最大值為-1．                     …（11分）
由m（x）≤m（1）得lnx≤-1+x．
∴，…（12分）
∴=
當n＞2，n∈N^*時，． …（14分）
點評：本題主要考查了利用導數求閉區間上函數的最值，以及利用導數研究函數的單調性和構造法的應用，同時考查了計算能力和轉化的數學思想，屬于難題．