Question

某商店經銷一種奧運會紀念品，每件產品的成本為30元，并且每賣出一件產品需向稅務部門上交a元（a為常數，2≤a≤5 ）的稅收．設每件產品的售價為x元（35≤x≤41），根據市場調查，日銷售量與e^x（e為自然對數的底數）成反比例．已知每件產品的日售價為40元時，日銷售量為10件．
（1）求該商店的日利潤L（x）元與每件產品的日售價x元的函數關系式；
（2）當每件產品的日售價為多少元時，該商品的日利潤L（x）最大，并求出L（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）日銷售量與e^x（e為自然對數的底數）成反比例，則有售量為

k

ex

，再結合利潤=收入-支出問題可以得到解決．
（2）求解函數的最值，導數是十分重要的工具，利用分段函數的性質進行求解．

解答：解：（1）設日銷售量為

k

ex

，則

k

e40

=10，
∴k=10e40，則日售量為

10e40

ex

件．（2分）
則日利潤L(x)=(x-30-a)

10e40

ex

=10e40

x-30-a

ex

；（4分）
（2）L′(x)=10e40

31+a-x

ex

（7分）
①當2≤a≤4時，33≤a+31≤35，當35＜x＜41時，L′（x）＜0
∴當x=35時，L（x）取最大值為10（5-a）e⁵（10分）
②當4＜a≤5時，35≤a+31≤36，令L′（x）=0，得x=a+31，
易知當x=a+31時，L（x）取最大值為10e^9-a（13分）
綜合上得L(x)max=

10(5-a)e5，(2≤a≤4) 10e9-a，(4＜a≤5)

．（15分）

點評：本題考查函數的性質和應用，解題時要注意公式的靈活運用．