Question

某著名景區新近開發一種旅游紀念品，每件產品的成本為30元，并且每賣出一件產品需向地方稅務部門上交3元的稅收．設每件紀念品的售價為x元（30≤x≤40），根據市場調查，日銷售量與e^x（e為自然對數的底數）成反比例．已知每件紀念品的售價為40元時，銷售量為10件．
（1）求該景區的日利潤L（x）元與每件紀念品的售價x元的函數關系式；
（2）當每件紀念品的售價為多少元時，該景區的日利潤L（x）最大，并求出L（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據日銷售量與e^x成反比例，確定日售量，再結合利潤=收入-支出問題可得函數關系式；
（2）求導函數，確定函數的單調性，從而可得函數的最值．

解答：解：（1）設日銷售量為

k

ex

∵每件紀念品的售價為40元時，銷售量為10件，
∴

k

e40

=10，∴k=10e⁴⁰，則日售量為

10e40

ex

件
∴日利潤L（x）=（x-30-3）

10e40

ex

=（x-33）

10e40

ex

（30≤x≤40），
（2）求導函數，可得L′（x）=

10e40

ex

（34-x）
令L′（x）＞0，可得30≤x＜34；令L′（x）＜0，可得34＜x≤40
∴函數在[30，34）上，函數單調增，在（34，40]上，函數單調減
∴x=34時，L（x）取極大值，且為最大值，最大值為10e⁶．

點評：本題考查函數模型的構建，考查導數知識的運用，單峰函數極值就是最值，屬于中檔題．