Question

已知函數f(x)=

1

4

x2-

1

a

x+ln(x+a)，其中常數a＞0．
（1）若f（x）在x=1處取得極值，求a的值；
（2）求f（x）的單調遞增區間．

Answer 1

分析：（1）求出函數f（x）的導數，根據題意得f′（1）=0，解關于a的方程，即可得a的值，最后代入原函數驗證即可；
（2）將函數的導數f′（x）因式分解，再根據a與

2

的大小關系，得出函數零點的不同情況，分a=

2

，a＞

2

和a＜

2

三種情況討論，即可得函數的單調區間．

解答：解：（1）∵f(x)=

1

4

x2-

1

a

x+ln(x+a)，
∴f′（x）=

1

2

x-

1

a

+

1

x+a

，
又∵f（x）在x=1處取得極值，
∴f′（1）=-

1

a

+

1

1+a

=0，
∵a為正數，∴解此方程得a=1，
經檢驗，當a=1時，在x=1處取得極小值，故a=1；
（2）由（1）知f′（x）=

1

2

x-

1

a

+

1

x+a

=

x[ax-(2-a2)]

2a(x+a)

（x＞-a，a＞0），
①當a=

2

時，f′（x）=

x2

2(x+a)

≥0，
∴f（x）的單調增區間是（-2，+∞）
②當a＞

2

時，由f′（x）＞0得-a＜x＜

2-a2

a

或x＞0，
∴f（x）的單調增區間是（-a，

2-a2

a

），（0，+∞）
③當0＜a＜

2

時，由f′（x）＞0得-a＜x＜0或x＞

2-a2

a

，
∴f（x）的單調增區間是（-a，0）和 （

2-a2

a

，+∞）．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性，同時對函數在某點處極值的存在性加以探討，綜合性強，屬于中檔題．