Question

已知向量

a

=（cosθ，sinθ），θ∈[0，π]，向量

b

=（

3

，-1）
（1）當

a

∥

b

，求θ．
（2）當

a

⊥

b

時，求θ．
（3）求|2

a

-

b

|的最大和最小值．

Answer 1

分析：（1）由

a

∥

b

得，cosθ×（-1）-

3

sinθ=0，可求tanθ，結合角的范圍可求；
（2）由

a

⊥

b

得，

a

•

b

=0，即

3

cosθ-sinθ=0，可求tanθ，結合角的范圍可求；
（3）表示出|2

a

-

b

|，利用三角恒等變換可進行化簡，由角的范圍及正弦性質可求；

解答：解：（1）由

a

∥

b

得，cosθ×（-1）-

3

sinθ=0，則tanθ=-

3

3

，
又θ∈[0，π]，所以θ=

5π

6

；
（2）由

a

⊥

b

得，

a

•

b

=0，即

3

cosθ-sinθ=0，所以tanθ=

3

，
又θ∈[0，π]，所以θ=

π

3

；
（3）2

a

-

b

=（2cosθ-

3

，2sinθ+1），
則|2

a

-

b

|=

(2cosθ- 3 )2+(2sinθ+1)2

=

8-4 3 cosθ+4sinθ

=

8+8sin(θ- π 3 )

，
由θ∈[0，π]，得θ-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，
所以sin（θ-

π

3

）∈[-

3

2

，1]，所以8+8sin（θ-

π

3

）∈[8-4

3

，16]，
|2

a

-

b

|∈[

6

-

2

，4]，
故|2

a

-

b

|的最大值為4，最小值為

6

-

2

．

點評：本題考查平面向量共線的條件、垂直的條件及數量積運算，考查三角函數的運算等知識，知識點較多，需要全面掌握有關知識．