Question

16．已知函數f（x）=lnx+ax²（a∈R），y=f（x）的圖象連續不間斷．
（1）求函數y=f（x）的單調區間；
（2）當a=1時，設l是曲線y=f（x）的一條切線，切點是A，且l在點A處穿過函數y=f（x）的圖象（即動點在點A附近沿曲線y=f（x）運動，經過點A時，從l的一側進入另一側），求切線l的方程．

Answer 1

分析 （1）求函數的定義域，利用函數單調性和導數之間的關系即可求出函數的單調區間；
（2）設切點A（x₀，f（x₀）），x₀＞0，利用導數求出函數在A處的切線方程，把l在點A處穿過函數y=f（x）的圖象轉化為在點A的兩側，曲線y=f（x）在直線的兩側，令$g（x）=（\frac{1}{{x}_{0}}+2{x}_{0}）x-1-{{x}_{0}}^{2}+ln{x}_{0}$，構造函數h（x）=f（x）-g（x），即在x=x₀附近兩側h（x）的值異號．然后利用導數研究函數h（x）的單調性求解．

解答 解：（1）函數的導數f′（x）=$\frac{1}{x}$+2ax=$\frac{2a{x}^{2}+1}{x}$（x＞0），
若a≥0，則f'（x）＞0，此時函數單調遞增，即增區間為（0，+∞）；
若a＜0，由f′（x）＞0，得2ax²+1＞0，即${x}^{2}＜-\frac{1}{2a}$，得0＜x＜$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$，
由f′（x）＜0，得x＞$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$．
∴函數的減區間為（$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$，+∞），增區間為（0，$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$），
綜上：若a≥0，函數的增區間為（0，+∞）．
若a＜0，函數的增區間為（0，$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$），減區間為（$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$，+∞）；
（2）設切點A（x₀，f（x₀）），x₀＞0，${f}^{′}（x）=\frac{1}{x}+2x$，
∴在點A處切線的斜率是$\frac{1}{{x}_{0}}+2{x}_{0}$．
∴切線方程為$y-f（{x}_{0}）=（\frac{1}{{x}_{0}}+2{x}_{0}）（x-{x}_{0}）$，
即$y=（\frac{1}{{x}_{0}}+2{x}_{0}）x-1-{{x}_{0}}^{2}+ln{x}_{0}$．
l在點A處穿過函數y=f（x）的圖象，即在點A的兩側，曲線y=f（x）在直線的兩側，
令$g（x）=（\frac{1}{{x}_{0}}+2{x}_{0}）x-1-{{x}_{0}}^{2}+ln{x}_{0}$，設h（x）=f（x）-g（x），
∴在x=x₀附近兩側h（x）的值異號．
設$h（x）=lnx+{x}^{2}-（\frac{1}{{x}_{0}}+2{x}_{0}）x+1+{{x}_{0}}^{2}$-lnx₀，注意到h（x₀）=0．
下面研究函數的單調性：
$h′（x）=\frac{1}{x}+2x-\frac{1}{{x}_{0}}-2{x}_{0}=（x-{x}_{0}）（2-\frac{1}{{x}_{0}x}）$=$（x-{x}_{0}）•\frac{2{x}_{0}x-1}{{x}_{0}x}$=$\frac{2（x-{x}_{0}）（x-\frac{1}{2{x}_{0}}）}{x}$．
當${x}_{0}＜\frac{1}{2{x}_{0}}$時：

x	（0，x0）	（x0，$\frac{1}{2{x}_{0}}$）	（$\frac{1}{2{x}_{0}}$，+∞）
h′（x）	+	-	+
h（x）	增	減	增

∴當x∈（0，x₀）時，h（x）是增函數，則h（x）＜h（x₀）=0，
當x∈（$\frac{1}{2{x}_{0}}$，+∞）時，h（x）是減函數，則h（x）＜h（x₀）=0．
∴h（x）在x=x₀處取極大值，兩側附近同負，與題設不符；
同理，當x₀$＞\frac{1}{2{x}_{0}}$時，h（x）在x=x₀處取極小值，兩側附近同正，與題設不符；
故${x}_{0}=\frac{1}{2{x}_{0}}$，即${x}_{0}=\frac{\sqrt{2}}{2}$時，h′（x）=$\frac{2（x-\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}{x}≥0$，∴h（x）在（0，+∞）內單調遞增．
∴當x∈（0，x₀）時，h（x）＜h（x₀）=0，當x∈（$\frac{1}{2{x}_{0}}$，+∞），h（x）＞h（x₀）=0符合題設．
∴${x}_{0}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，切線方程為$y=2\sqrt{2}x-\frac{1}{2}ln2-\frac{3}{2}$．

點評 本題考查利用導數研究過曲線上某點處的切線方程，考查利用導數研究函數的單調性，考查數學轉化思想方法和分類討論的數學思想方法，屬難題．