Question

若不等式1+2^x+4^xa＞0在x∈（-∞，-1]時總成立，求實數a的取值范圍

 

．

Answer 1

考點：函數恒成立問題

專題：綜合題,函數的性質及應用

分析：依題意得：a＞

-2x-1

4x

=-

1

(2x+1)+ 1 2x+1 -2

在x∈（-∞，-1]時總成立，構造函數f（x）=（2^x+1）+

1

2x+1

-2，利用“雙鉤”函數的單調性質可求得f（x）_max=

1

6

，繼而可得y=[-

1

f(x)

]max，于是可得答案．

解答： 解：∵1+2^x+4^xa＞0在x∈（-∞，-1]時總成立，
∴a＞

-2x-1

4x

=-

(1+2x)

22x

=-

2x+1

[(2x+1)-1]2

=-

1

(2x+1)+ 1 2x+1 -2

在x∈（-∞，-1]時總成立，
令f（x）=（2^x+1）+

1

2x+1

-2，
則a＞[-

1

f(x)

]max．
∵x∈（-∞，-1]，
∴2^x∈（0，

1

2

]，（2^x+1）∈（1，

3

2

]，
再令t=2^x+1，t∈（1，

3

2

]，則g（t）=t+

1

t

-2在區間（1，

3

2

]上單調遞增，y=

1

t+ 1 t -2

在區間（1，

3

2

]上單調遞減，y=-

1

t+ 1 t -2

在區間（1，

3

2

]上單調遞增，
∴當x=-1時，t=2^x+1取得最大值

3

2

，y_max=-

1

3 2 + 2 3 -2

=-6，即[-

1

f(x)

]max=-6．
∴a＞-6．
故答案為：（-6，+∞）．

點評：本題考查函數恒成立問題，著重考查等價轉化思想與構造函數思想的應用，考查復合函數的單調性與最值，屬于難題．