Question

（本題滿分14分）右圖為一簡單組合體，其底面ABCD為正方形，平面，

，且， （1）求證：BE//平面PDA；

（2）若N為線段的中點，求證：平面；

（3）若，求平面PBE與平面ABCD所成的二面角的大小．

Answer 1

(Ⅰ) 見解析   (Ⅱ) 見解析  （Ⅲ）45°--

解析:

（1）證明：∵，平面，平面

∴EC//平面,同理可得BC//平面---------------2分

∵EC平面EBC,BC平面EBC且 

∴平面//平面----------3分又∵BE平面EBC   ∴BE//平面PDA---------4分

（2）證法1：連結AC與BD交于點F, 連結NF，

∵F為BD的中點，∴且,-------------6分

又且

∴且

∴四邊形NFCE為平行四邊形-------------------------7分

∴

∵,平面,

面     ∴，

又∴面     ∴面--------------9分

[證法2：如圖以點D為坐標原點，以AD所在的直線為x軸建立空間直角坐標系如圖示：設該簡單組合體的底面邊長為1，

則

,--------------------------------6分

∴,,

∵,

∴-------------8分∵、面，且

∴面------9分

（3）解法1：連結DN，由（2）知面 ∴,  ∵，

 ∴  ∴∴為平面PBE的法向量，設，則 

∴=---11分∵為平面ABCD的法向量，， --------12分

設平面PBE與平面ABCD所成的二面角為，則-----------13分

∴  即平面PBE與平面ABCD所成的二面角為45°---------------------------------14分

[解法2：延長PE與DC的延長線交于點G,連結GB，則GB為平面PBE與ABCD的交線-------10分

∵   ∴

∴D、B、G在以C為圓心、以BC為半徑的圓上，

∴-------------------11分

∵平面,面 

∴且

∴面  ∵面 

∴∴為平面PBE與

平面ABCD所成的二面角的平面角--------13分

在中∵∴＝45°即平面PBE與平面ABCD所成的二面角為45°-14分

其它解法請參照給分