Question

（本題滿(mǎn)分14分）

右圖為一簡(jiǎn)單組合體，其底面ABCD為正方形，平面，

，且，

（1）求證：BE//平面PDA；

（2）若N為線(xiàn)段的中點(diǎn)，求證：平面；

（3）若，求平面PBE與平面ABCD所成的二面角的大小．

Answer 1

解析:

18．解：（1）證明：∵，平面，平面

∴EC//平面,

同理可得BC//平面--------------------------------------------------------2分

∵EC平面EBC,BC平面EBC且 

∴平面//平面--------------------------------------------------------------------3分

又∵BE平面EBC   ∴BE//平面PDA-----------------------------------------------------------4分

（2）證法1：連結(jié)AC與BD交于點(diǎn)F, 連結(jié)NF，

∵F為BD的中點(diǎn)，

∴且,--------------------------6分

又且

∴且

∴四邊形NFCE為平行四邊形-------------------------7分

∴

∵,平面,

面     ∴，

又

∴面     ∴面------------------------------------------------------------9分

[證法2：如圖以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AD所在的直線(xiàn)為x軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖示：設(shè)該簡(jiǎn)單組合體的底面邊長(zhǎng)為1，

則

,--------------------------------6分

∴,,

∵,

∴--------------------------------------------------------------------8分

∵、面，且

∴面--------------------------------------------------------------------------------9分

（3）解法1：連結(jié)DN，由（2）知面

   ∴,  ∵，  ∴  ∴

∴為平面PBE的法向量，設(shè)，則  ∴=---11分

∵為平面ABCD的法向量，，-------------------------------------12分

設(shè)平面PBE與平面ABCD所成的二面角為，

則----------------------------13分

∴  即平面PBE與平面ABCD所成的二面角為45°---------------------------------14分

[解法2：延長(zhǎng)PE與DC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)G,連結(jié)GB，

則GB為平面PBE與ABCD的交線(xiàn)----------------------------------------------10分

∵   ∴

∴D、B、G在以C為圓心、以BC為半徑的圓上，

∴-------------------11分

∵平面,面 

∴且

∴面  ∵面 

∴

∴為平面PBE與平面ABCD所

成的二面角的平面角-----------------------------------------------------------------------13分

在中       ∵

∴＝45°即平面PBE與平面ABCD所成的二面角為45°------------------14分