Question

(本題滿分14分)

已知點是⊙：上的任意一點，過作垂直軸于,動點滿足。

（1）求動點的軌跡方程； 

（2）已知點，在動點的軌跡上是否存在兩個不重合的兩點、，使 (O是坐標原點)，若存在，求出直線的方程，若不存在，請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

 

（1）

（2）

【解析】解：（1）設，依題意，則點的坐標為……1分

∴                     ……………………2分

又    ∴         ……………………4分

∵ 在⊙上，故  ∴        ……………………5分

∴ 點的軌跡方程為            ………………………6分

（2）假設橢圓上存在兩個不重合的兩點滿足

，則是線段MN的中點，且有…9分

又 在橢圓上

∴     兩式相減，得 ……12分

∴            ∴  直線MN的方程為

∴  橢圓上存在點、滿足，

此時直線的方程為                ………………………14分