Question

（2004•寶山區(qū)一模）設(shè)直線(xiàn)2x-y+1=0與橢圓

x2

3

+

y2

4

=1相交于A、B兩點(diǎn)．
（1）線(xiàn)段AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)及線(xiàn)段AB的長(zhǎng)；
（2）已知橢圓具有性質(zhì)：設(shè)A、B是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1上的任意兩點(diǎn)，M是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，若直線(xiàn)AB、OM的斜率都存在，并記為k_AB，k_OM，則k_AB?k_OM為定值．試對(duì)雙曲線(xiàn)

x2

a2

-

y2

b2

=1寫(xiě)出具有類(lèi)似特性的性質(zhì)，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）欲求線(xiàn)段AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)，只需求出A，B橫坐標(biāo)之和，縱坐標(biāo)之和，再用中點(diǎn)坐標(biāo)公式計(jì)算即可．把直線(xiàn)2x-y+1=0代入橢圓

x2

3

+

y2

4

=1中，利用韋達(dá)定理，求出x₁+x₂，x₁x₂，可得M點(diǎn)坐標(biāo)．再用弦長(zhǎng)公式，可求線(xiàn)段AB的長(zhǎng)
（2）涉及中點(diǎn)弦問(wèn)題，也可使用點(diǎn)差法解決，設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），代入雙曲線(xiàn)方程作差即可得直線(xiàn)斜率與中點(diǎn)原點(diǎn)連線(xiàn)斜率之間的關(guān)系

解答：解：（1）設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則

2x-y+1=0 x2 3 + y2 4 =1

⇒

4

3

x2+x-

3

4

=0⇒

x1+x2=- 3 4 x1x2=- 9 16

（2分）
所以M(-

3

8

，

1

4

)
|AB|=

1+22

| x1-x2|=

5

(x1+x2)2-4x1x2

=

15

4

（2）設(shè)A、B是雙曲線(xiàn)

x2

a2

-

y2

b2

=1上的任意兩點(diǎn)，M是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，若直線(xiàn)AB、OM的斜率都存在，并記為k_AB，k_OM，則k_AB?k_OM為定值．
證明：設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），分別代入雙曲線(xiàn)

x2

a2

-

y2

b2

=1，再相減后可得：

1

a2

(x1+x2)(x1-x2)-

1

b2

(y1+y2)(y1-y2)=0
設(shè)M（x₀，y₀），則

x1+x2=2x0 y1+y2=2y0

，代入上式可得

y1-y2

x1-x2

=

b2

a2

×

x0

y0

即k_AB?k_OM=

b2

a2

∴定值為

b2

a2

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系，特別是當(dāng)直線(xiàn)與曲線(xiàn)相交并且與弦的中點(diǎn)有關(guān)時(shí)，可以使用聯(lián)立方程組的辦法，也可采用點(diǎn)差法，但要認(rèn)證體會(huì)兩種方法的局限性