Question

13．已知橢圓$C：\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的短軸長為2，且橢圓C的頂點在圓$M：{x^2}+{（{y-\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）^2}=\frac{1}{2}$上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過橢圓的上焦點作相互垂直的弦AB，CD，求|AB|+|CD|的最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：b=1，由C的頂點在圓M上，則a=$\sqrt{2}$，即可求得橢圓方程；
（2）分類討論，直線AB的斜率不存在或為零時，則丨AB丨+丨CD丨=3$\sqrt{2}$，當直線AB的斜率存在，代入橢圓方程方程，利用韋達定理及弦長公式即可求得丨AB丨+丨CD丨，換元，根據t的取值范圍，即可求得|AB|+|CD|的最小值．

解答 解：（1）由題意可知2b=2，b=1，由題意C的頂點在圓M上，則a=$\sqrt{2}$，
∴橢圓的標準方程：$\frac{{y}^{2}}{2}+{x}^{2}=1$；
（2）當直線AB的斜率不存在或為零時，
丨AB丨+丨CD丨=3$\sqrt{2}$，
當直線AB的斜率存在，且不為零，直線AB的方程y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直線CD的方程：y=-$\frac{1}{k}$x+1，
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{y}^{2}}{2}+{x}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（k²+2）x²+2kx-1=0，
則x₁+x₂=-$\frac{2k}{{k}^{2}+2}$，x₁x₂=-$\frac{1}{{k}^{2}+2}$，
則丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}（{k}^{2}+1）}{{k}^{2}+2}$，同理可得：丨CD丨=$\frac{2\sqrt{2}（{k}^{2}+1）}{2{k}^{2}+1}$，
則丨AB丨+丨CD丨=$\frac{6\sqrt{2}（{k}^{2}+1）^{2}}{（2{k}^{2}+1）（{k}^{2}+2）}$，
令t=k²+1，則t＞1，則丨AB丨+丨CD丨=$\frac{6\sqrt{2}{t}^{2}}{（2t-1）（t+1）}$=$\frac{6\sqrt{2}}{（2-\frac{1}{t}）（1+\frac{1}{t}）}$，
2＜（2-$\frac{1}{t}$）（1+$\frac{1}{t}$）≤$\frac{9}{4}$，
∴$\frac{8\sqrt{3}}{3}$≤丨AB丨+丨CD丨＜3$\sqrt{2}$，
綜上可知：$\frac{8\sqrt{3}}{3}$≤丨AB丨+丨CD丨≤3$\sqrt{2}$，
∴|AB|+|CD|的最小值$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，弦長公式，考查換元法的應用，考查計算能力，屬于中檔題．