Question

已知函數f（x）=|x+1|+ax（a∈R）．若函數f（x）在 R 上具有單調性，則a的取值范圍為________．

Answer 1

（-∞，-1）∪（1，+∞）
分析：先化簡f（x）=，再分類討論：①a＞1時或a＜-1時，②a=1或-1時，③-1＜a＜1時，最后研究函數f（x）在R上的單調性即可．
解答：原函數式化簡得：f（x）=．
①a＞1時，
當x≥-1時，f（x）=（a+1）x+1是增函數，且f（x）≥f（-1）=-a；
當x＜-1時，f（x）=（a-1）x-1是增函數，且f（x）＜f（-1）=-a．
所以，當a＞1時，函數f（x）在R上是增函數．
同理可知，當a＜-1時，函數f（x）在R上是減函數．（6分）
②a=1或-1時，易知，不合題意．
③-1＜a＜1時，取x=0，得f（0）=1，取x=，由＜-1，知f（）=1，
所以f（0）=f（）．
所以函數f（x）在R上不具有單調性．（10分）
綜上可知，若函數f（x）在 R 上具有單調性，則a的取值范圍是（-∞，-1）∪（1，+∞）．（12分）
故答案為：（-∞，-1）∪（1，+∞）．
點評：本題考查函數的單調性及單調區間，以及利用函數的單調性求參數的取值范圍．屬于中檔題．考查了分類討論的思想及判斷推理的能力