Question

【題目】給定一個n項的實數列，任意選取一個實數c，變換T（c）將數列a1，a2，…，an變換為數列|a1﹣c|，|a2﹣c|，…，|an﹣c|，再將得到的數列繼續實施這樣的變換，這樣的變換可以連續進行多次，并且每次所選擇的實數c可以不相同，第k（k∈N*）次變換記為Tk（ck），其中ck為第k次變換時選擇的實數．如果通過k次變換后，數列中的各項均為0，則稱T1（c1），T2（c2），…，Tk（ck）為“k次歸零變換”．

（1）對數列：1，3，5，7，給出一個“k次歸零變換”，其中k≤4；

（2）證明：對任意n項數列，都存在“n次歸零變換”；

（3）對于數列1，22，33，…，nn，是否存在“n﹣1次歸零變換”？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析（3）不存在，見解析

【解析】

（1）根據定義取恰當的值進行變換得解；

（2）結合（1）進行歸零變換的過程，可以考慮構造數列，經過k次變換后，數列記為，k＝1，2，…，進行變換Tk（ck）時，，依次變換即可得證；

（3）利用數學歸納法證明該數列不存在“n﹣1次歸零變換”.

（1）方法1：T1（4）：3，1，1，3；T2（2）：1，1，1，1；T3（1）：0，0，0，0．

方法2：T1（2）：1，1，3，5；T2（2）：1，1，1，3；T3（2）：1，1，1，1；T4（1）：0，0，0，0．．…

（2）經過k次變換后，數列記為，k＝1，2，…．

取，則，即經T1（c1）后，前兩項相等；

取，則，即經T2（c2）后，前3項相等；

…

設進行變換Tk（ck）時，其中，變換后數列變為，則；

那么，進行第k+1次變換時，取，

則變換后數列變為，

顯然有；

…

經過n﹣1次變換后，顯然有；

最后，取，經過變換Tn（cn）后，數列各項均為0．

所以對任意數列，都存在“n次歸零變換”．

（3）不存在“n﹣1次歸零變換”．

證明：首先，“歸零變換”過程中，若在其中進行某一次變換Tj（cj）時，cj＜min{a1，a2，…，an}，那么此變換次數便不是最少．這是因為，這次變換并不是最后的一次變換（因它并未使數列化為全零），設先進行Tj（cj）后，再進行Tj+1（cj+1），由||ai﹣cj|﹣cj+1|＝|ai﹣（cj+cj+1）|，即等價于一次變換Tj（cj+cj+1），同理，進行某一步Tj（cj）時，cj＞max{a1，a2，…，an}；此變換步數也不是最小．

由以上分析可知，如果某一數列經最少的次數的“歸零變換”，每一步所取的ci滿足min{a1，a2，…，an}≤ci≤max{a1，a2，…，an}．

以下用數學歸納法來證明，對已給數列，不存在“n﹣1次歸零變換”．

（1）當n＝2時，對于1，4，顯然不存在“一次歸零變換”，結論成立．

（由（2）可知，存在“兩次歸零變換”變換：）

（2）假設n＝k時成立，即1，22，33，…，kk不存在“k﹣1次歸零變換”．

當n＝k+1時，假設1，22，33，…，kk，（k+1）k+1存在“k次歸零變換”．

此時，對1，22，33，…，kk也顯然是“k次歸零變換”，由歸納假設以及前面的討論不難知1，22，33，…，kk不存在“k﹣1次歸零變換”，則k是最少的變換次數，每一次變換ci一定滿足，i＝1，2，…，k．

因為（k+1）k+1﹣kkk＞0

所以，（k+1）k+1絕不可能變換為0，與歸納假設矛盾．

所以，當n＝k+1時不存在“k次歸零變換”．

由（1）（2）命題得證．