Question

已知函數(shù)f（x）=|x﹣a|，g（x）=ax，（a∈R）．
（1）若函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)，求出符合條件的實(shí)數(shù)a的值；
（2）若方程f（x）=g（x）有兩解，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若a＞0，記F（x）=g（x）f（x），試求函數(shù)y=F（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值．

Answer 1

解：（1）∵函數(shù)f（x）=|x﹣a|為偶函數(shù)，
∴對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，f（﹣x）=f（x）成立即|﹣x﹣a|=|x﹣a|，
∴x+a=x﹣a恒成立，或x+a=a﹣x恒成立
∵x+a=a﹣x不能恒成立
∴x+a=x﹣a恒成立，得a=0．
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，|x﹣a|﹣ax=0有兩解，
等價(jià)于方程（x﹣a）²﹣a²x²=0在（0，+∞）上有兩解，
即（a²﹣1）x²+2ax﹣a²=0在（0，+∞）上有兩解，
令h（x）=（a²﹣1）x²+2ax﹣a²，
因?yàn)閔（0）=﹣a²＜0，
所以 ，故0＜a＜1；
同理，當(dāng)a＜0時(shí)，得到﹣1＜a＜0；
當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=|x|=0=g（x），顯然不合題意，舍去．
綜上可知實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣1，0）∪（0，1）．
（3）令F（x）=f（x）·g（x）
①當(dāng)0＜a≤1時(shí)，則F（x）=a（x²﹣ax），
對(duì)稱軸 ，函數(shù)在[1，2]上是增函數(shù)，
所以此時(shí)函數(shù)y=F（x）的最大值為4a﹣2a²．
②當(dāng)1＜a≤2時(shí)， ，
對(duì)稱軸 ，所以函數(shù)y=F（x）在（1，a]上是減函數(shù)，
在[a，2]上是增函數(shù)，F(xiàn)（1）=a²﹣a，F(xiàn)（2）=4a﹣2a²，
1）若F（1）＜F（2），即 ，此時(shí)函數(shù)y=F（x）的最大值為4a﹣2a²；
2）若F（1）≥F（2），即 ，此時(shí)函數(shù)y=F（x）的最大值為a²﹣a．
③當(dāng)2＜a≤4時(shí)，F(xiàn)（x）=﹣a（x²﹣ax）
對(duì)稱軸 ，此時(shí) ，
④當(dāng)a＞4時(shí)，對(duì)稱軸 ，此時(shí) ．
綜上可知，函數(shù)y=F（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值