Question

已知函數，.
（1）當時，證明：；
（2）若，求k的取值范圍.

Answer 1

（1）證明過程詳見解析；（2）(－∞，0].

解析試題分析：本題主要考查導數的運算、利用導數判斷函數的單調性、利用導數求函數的最值、不等式的基本性質等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、轉化能力、計算能力，考查學生的函數思想.第一問，先將轉化為，先得到表達式，對求導，利用“單調遞增；單調遞減”解不等式求函數的單調區間，利用函數的單調性確定最小值所在的位置；第二問，將轉化為，令F(x)＝f(x)－g(x)對f(x)求導，由于的正負不明顯，所以進行二次求導，二次求導后得到G¢(x)＝e^x－k，只需討論k的正負，通過的單調性，求出的最值，來判斷的正負，來判斷的單調性，從而求的最值.
（1）當k＝1時，設h(x)＝f(x)－g(x)＋＝e^x－x－1，h¢(x)＝e^x－1． 1分
當x∈(－∞，0)時，h¢(x)＜0，h(x)單調遞減；
當x∈(0，＋∞)時，h¢(x)＞0，h(x)單調遞增．
所以h(x)≥h(0)＝0．
故f(x)≥g(x)－．           4分
（2）設F(x)＝f(x)－g(x)＝e^x－x²－x－1，則F¢(x)＝e^x－kx－1．
設G(x)＝e^x－kx－1，則G¢(x)＝e^x－k．       6分
（1）若k≤0時，則G¢(x)＞0，G(x)單調遞增，
當x∈(－∞，0)時，G(x)＜G(0)＝0，即F¢(x)＜0，F(x)單調遞減；
當x∈(0，＋∞)時，G(x)＞G(0)＝0，即F¢(x)＞0，F(x)單調遞增．
故F(x)≥F(0)＝0，此時f(x)≥g(x)．       9分
（2）若k＞0，則
當x∈(－∞，－)時，e^x－1＜0，－x²－x＝－x(kx＋2)＜0，
從而F(x)＝e^x－1－x²－x＜0，這時f(x)≥g(x)不成立．   11分
綜上，k的取值范圍是(－∞，0]．        12分
考點：導數的運算、利用導數判斷函數的單調性、利用導數求函數的最值、不等式的基本性質.