Question

已知函數，其定義域為（），設。

   （Ⅰ）試確定的取值范圍，使得函數在上為單調函數；

   （Ⅱ）試判斷的大小并說明理由；

   （Ⅲ）求證：對于任意的,總存在，滿足,并確定這樣的的個數。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）

（Ⅱ）

（Ⅲ）證明見解析。

【解析】（Ⅰ）因為……1分

由；由，

所以在上遞增，在上遞減。……3分

要使在上為單調函數，則。……4分

（Ⅱ）。

因為在上遞增,在上遞減，

所以在處取得極小值，……6分

又，所以在上的最小值為 ，……8分

從而當時，，即。……9分

（Ⅲ）證明：因為，所以，即為,

令，

從而問題轉化為證明方程=0在上有解，

并討論解的個數                                ……10分

因為，

，所以

①當時，，

所以在上有解，且只有一解；……12分

②當時，，但由于，

所以在上有解，且有兩解。……13分

③當時，，

所以在上有且只有一解；

當時，，

所以在上也有且只有一解。……14分

綜上所述，對于任意的，總存在，滿足，

且當時，有唯一的適合題意；

當時，有兩個適合題意。              ……15分

（說明:第（Ⅱ）題也可以令，，

然后分情況證明在其值域內，

并討論直線與函數的圖象的交點個數即可得到相應的的個數）