Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且曲線y=x²-nx+1（n∈N^*）在x=a_n處的切線的斜率恰好為S_n．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）求數列{na_n}的前n項和為T_n；
（3）求證：

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…

1

an

＜

5

3

．

Answer 1

分析：（1）依據題意對函數求導，根據導數的幾何意義得到數列的遞推公式，由所得的遞推公式構建關于數列{a_n}的項之間的關系，發現規律，用間接法求數列{a_n}的通項公式；
（2）根據題設，由（1）知，na_n=n（2ⁿ-1）=n•2ⁿ-n，由于此數列的通項是由可以看作是兩個數列通項的和組成，故求數列{na_n}的前n項和為T_n，要先分組，其中一組用等差數列的求和公式求和，另一組用錯位相減法求和，然后再相加即可得到數列{na_n}的前n項和為T_n；
（3）由數列{a_n}的通項公式及不等式的形式，此不等式的證明要采取逐步放大的方法進行證明，

解答：解：（1）y’=2x-n，由導數的幾何意義，得S_n=2a_n-n①，（1分）則S_n+1=2a_n+1-（n+1）②，
②一④得：a_n+l=2a_n+1-2a_n-1，即a_n+1=2a_n+l，（2分）故a_n+1=2（a_n+1）．（3分）
由①知，a_l=S₁=2a₁-1，得a₁=1．（4分）
∴{a_n+1}是首項為2，公比為2的等比數列，
∴a_n+l=2ⁿ，即a_n=2ⁿ-l（n∈N^*）．（5分）
（2）由（1）知，na_n=n（2ⁿ-1）=n•2ⁿ-n，則Tn=(1•2+2•22+3•23++n•2n)-(1+2+3++n)=An-

n(n+1)

2

，其中A_n=1•2+2•2²+3•2³++n•2ⁿ，①2A_n=1•2²+2•2³++（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，②
①一②得：-An=2+22+23++2n-n•2n+1=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1=2n+1-2-n•2n+1
∴A_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2（8分）故Tn=(n-1)2n+1+2-

n(n+1)

2

（9分）
（3）∵

1

an

=

1

2n-1

=

2n+1-1

(2n-1)(2n+1-1)

＜

2n+1

(2n-1)(2n+1-1)

=2•

(2n+1-1)-(2n-1)

(2n-1)(2n+1-1)

=2(

1

2n-1

-

1

2n+1-1

)(n≥2)（12分）∴

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

++

1

an

＜1+2[(

1

22-1

-

1

23-1

)+(

1

23-1

-

1

24-1

)++(

1．

2n-1

-

1

2n+1-1

)]=1+2(

1

22-1

-

1

2n+1-1

)＜1+2•

1

3

=

5

3

（l4分）

點評：本題考查了由遞推公式求數列通項，分組求和與錯位相減法求和等求和的技巧，以及放縮法證明不等式的技巧，本題綜合性較強，對靈活運用知識與技巧進行變形要求很高，是一個能力型的題．