Question

【題目】已知函數（且）

（1）求函數的單調遞增區間；

（2）當時，設函數，函數，

①若恒成立，求實數的取值范圍；

②證明：

Answer 1

【答案】（1）時函數的單調遞增區間是；時函數的單調遞增區間是;（2）①;②詳見解析．

【解析】

試題分析：（1）第一步先求，第二步討論或時，的解集；

（2）①首先得到函數，再求其導數，若恒成立，即，將問題轉化為求函數的最小值，利用導數求的最小值；

②由①知時，在上恒成立，當時等號成立，，令，累加可得結論．

試題解析：解：（1），令．

當時，解得；當時，解得，

所以時函數的單調遞增區間是；

時函數的單調遞增區間是

（2）①，由題意得，

因為，

所以當時，，單調遞減；

當時，，單調遞增；

由得，則實數的取值范圍是（分離參數法亦可）．

②由（1）知時，在上恒成立，當時等號成立，

，令，累加可得

即