Question

已知函數，其中m，a均為實數．
（1）求的極值；
（2）設，若對任意的，恒成立，求的最小值；
（3）設，若對任意給定的，在區間上總存在，使得成立，求的取值范圍．

Answer 1

(1)極大值為1，無極小值；(2)3-；(3)．

試題分析：(1)求的極值，就是先求出，解方程，此方程的解把函數的定義域分成若干個區間，我們再確定在每個區間里的符號，從而得出極大值或極小值；（2）此總是首先是對不等式恒成立的轉化，由（1）可確定在上是增函數，同樣的方法（導數法）可確定函數在上也是增函數，不妨設，這樣題設絕對值不等式可變為
，整理為，由此函數在區間上為減函數，則在（3，4）上恒成立，要求的取值范圍．采取分離參數法得恒成立，于是問題轉化為求在上的最大值；（3）由于的任意性，我們可先求出在上的值域，題設“在區間上總存在，使得
成立”，轉化為函數在區間上不是單調函數，極值點為（），其次，極小值，最后還要證明在上，存在，使，由此可求出的范圍.
試題解析：（1），令，得x=1．       1分
列表如下：

x	（-∞，1）	1	（1，+∞）
	+	0	-
g(x)	↗	極大值	↘

 
∵g(1)=1，∴y=的極大值為1，無極小值．       3分
（2）當時，，．
∵在恒成立，∴在上為增函數．       4分
設，∵>0在恒成立，
∴在上為增函數．       5分
設，則等價于，
即．
設，則u(x)在為減函數．
∴在（3，4）上恒成立．       6分
∴恒成立．
設，∵=，xÎ[3，4]，
∴，∴<0，為減函數．
∴在[3，4]上的最大值為v(3)=3-．       8分
∴a≥3-，∴的最小值為3-．       9分
（3）由（1）知在上的值域為．       10分
∵，，
當時，在為減函數，不合題意．       11分
當時，，由題意知在不單調，
所以，即．①       12分
此時在上遞減，在上遞增，
∴，即，解得．②
由①②，得．       13分
∵，∴成立．       14分
下證存在，使得≥1．
取，先證，即證．③
設，則在時恒成立．
∴在時為增函數．∴，∴③成立．
再證≥1．
∵，∴時，命題成立．
綜上所述，的取值范圍為．       16分