Question

已知雙曲線x²-2y²=2的左、右焦點分別是F₁、F₂，動點P滿足|PF₁|+|PF₂|=4．
（1）求動點P的軌跡E的過程．
（2）設(shè)過點F₂且不垂直與坐標(biāo)軸的動直線a交軌跡E與A、B兩點，試問在y軸上是否存在一點D使得以DA、DB為鄰邊的平行四邊形為菱形？若存在，試判斷點D的活動范圍：若不存在，試說明理由．

Answer 1

解：（1）雙曲線的方程可化為-y²=1，則|FF₂|=2，|PF₁|+|PF₂|=4＞|FF₂|，
所以點P的軌跡E是以F₁，F(xiàn)₂為焦點且長軸長為4的橢圓，其方程為+y²=1．（3分）
（2）假設(shè)存在滿足條件的點D（0，m），設(shè)直線a的方程為y=k（x-）（k≠0）
代入橢圓方程得：（1+4k²）x²-8k²x+12k²-4=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韋達(dá)定理得：x₁+x₂=，y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=
=（x₁，y₁-m），=（x₂，y₂-m），
=（ x₁+x₂，y₁+y₂-2m），（6分）
又=λ（1，k） （λ=x₂-x₁），
∵以DA、DB為鄰邊的平行四邊形為菱形，∴（+）⊥
∴（+）•=0，即+-2mk=0，整理得：-2mk=0，（8分）
∵k≠0，∴m==
若k＞0，則≤（當(dāng)且僅當(dāng)k=時取等號），即m∈（0，]（10分）
若k＜0，則≥-（當(dāng)且僅當(dāng)k=-時取等號），即m∈[-，0）（11分）
綜上，滿足條件的點D存在，其活動范圍是滿足-≤y≤且y≠0的區(qū)域．
分析：（1）雙曲線的方程可化為-y²=1，則|FF₂|=2，|PF₁|+|PF₂|=4＞|FF₂|，由此知點P的軌跡E是以F₁，F(xiàn)₂為焦點且長軸長為4的橢圓，并能求出其方程．
（2）假設(shè)存在滿足條件的點D（0，m），設(shè)直線a的方程為y=k（x-），代入橢圓方程得：（1+4k²）x²-8k²x+12k²-4=0，再由韋達(dá)定理結(jié)合分類討論思想能夠推導(dǎo)出滿足條件的點D存在，其活動范圍是滿足-≤y≤且y≠0的區(qū)域．
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．