Question

已知在函數f（x）=ax³-x的圖象上，以N（1，b）為切點的切線的傾斜角為45°．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）是否存在最小的正整數k，使得不等式f（x）≤k-1996對于x∈[-1，3]恒成立？若存在，試求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：函數恒成立問題,利用導數求閉區間上函數的最值

專題：綜合題,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）求出f′（x），然后把切點N的橫坐標代入f′（x）表示出直線的斜率等于tan45°，得到關于a的方程，求出a的值，然后把N（1，b）代入到f（x）即可得到n的值；
（II）要使得不等式f（x）≤k-1996對于x∈[-1，3]恒成立，即要k≥f（x）_max+1993即要求出f（x）的最大值，從而得到滿足題意k的最小的正整數解．

解答： 解：（Ⅰ）依題意，得f'（1）=tan45°，即3a-1=1，a=

2

3

．
因為f（1）=b，所以b=-

1

3

．…..（4分）
（II）由（I）知f(x)=

2

3

x3-x．令f′(x)=2x2-1=0，得x=±

2

2

．
因為f(-1)=

1

3

，f(-

2

2

)=

2

3

，f(

2

2

)=-

2

3

，f(3)=15．
所以，當x∈[-1，3]時，f（x）的最大值為f（3）=15．…（8分）
要使得不等式f（x）≤k-1996對于x∈[-1，3]恒成立，則k≥15+1996=2011．
所以，存在最小的正整數k=2011，使得不等式f（x）≤k-1996對于x∈[-1，3]恒成立．
…（12分）

點評：考查學生會利用導數研究曲線上過某點切線方程的斜率，理解函數恒成立時所取的條件，會利用導數求閉區間上函數的最大值，掌握直線傾斜角與斜率的關系．