Question

若點(diǎn)P是有共同焦點(diǎn)的橢圓C₁和雙曲線C₂的一個(gè)交點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂分別是它們的左、右焦點(diǎn)，設(shè)橢圓離心率為e₁，雙曲線離心率為e₂，若，則=（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

【答案】分析：由題設(shè)中的條件，設(shè)焦距為2c，橢圓的長軸長2a，雙曲線的實(shí)軸長為2m，根據(jù)橢圓和雙曲線的性質(zhì)以及勾弦定理建立方程，聯(lián)立可得m，a，c的等式，整理即可得到結(jié)論，
解答：解：由題意設(shè)焦距為2c，橢圓的長軸長2a，雙曲線的實(shí)軸長為2m，不妨令P在雙曲線的右支上
由雙曲線的定義|PF₁|-|PF₂|=2m  ①
由橢圓的定義|PF₁|+|PF₂|=2a  ②
又，故∠F₁PF₂=90，故|PF₁|²+|PF₂|²=4c²   ③
①²+②²得|PF₁|²+|PF₂|²=2a²+2m²④
將④代入③得a²+m²=2c²，即=2
故選B．
點(diǎn)評：本題考查圓錐曲線的共同特征，考查通過橢圓與雙曲線的定義焦點(diǎn)三角形中用勾弦定理建立三個(gè)方程聯(lián)立求橢圓離心率e₁與雙曲線心率e₂滿足的關(guān)系式，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)所得出的條件靈活變形，湊出兩曲線離心率所滿足的方程來．